Zadania na podstawie zad. 10 / maj 2023

Zad. 1 [zad 10, 12 maja 2023 matura główna CKE, 4 pkt. -> 8%]

Określamy kwadraty K1 , K2 , K3 , … następująco: 

• K1 jest kwadratem o boku długości a 
• K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K1 i dzieli ten bok w stosunku 1 ∶ 3 
• K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K2 i dzieli ten bok w stosunku 1 ∶ 3 
 
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2:

• K𝑛 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn−1 i dzieli ten bok w stosunku 1 ∶ 3. 
 
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Z uwagi na ograniczenia platformy:

Odpowiedź zapisz bez spacji

Ułamek zapisz w postaci dzielenia: /

Potęgę zapisz jako: ^

Jeśli będzie potrzebne skopiuj: √

Korzystaj jedynie z nawiasów: ()

Zad. 2 [na podstawie zad 10, 12 maja 2023 matura główna CKE, 4 pkt. -> 8%]

Określamy kwadraty K1 , K2 , K3 , … następująco: 

• K1 jest kwadratem o boku długości a 
• K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K1 i dzieli ten bok w stosunku 1 ∶ 4 
• K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K2 i dzieli ten bok w stosunku 1 ∶ 4 
 
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2:

• K𝑛 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn−1 i dzieli ten bok w stosunku 1 ∶ 4. 
 
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Z uwagi na ograniczenia platformy:

Odpowiedź zapisz bez spacji

Ułamek zapisz w postaci dzielenia: /

Potęgę zapisz jako: ^

Jeśli będzie potrzebne skopiuj: √

Korzystaj jedynie z nawiasów: ()

Zad. 3 [na podstawie zad 10, 12 maja 2023 matura główna CKE, 4 pkt. -> 8%]

Określamy kwadraty K1 , K2 , K3 , … następująco: 

• K1 jest kwadratem o boku długości a 
• K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K1 i dzieli ten bok w stosunku 2 ∶ 3 
• K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K2 i dzieli ten bok w stosunku 2 ∶ 3 
 
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2:

• K𝑛 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn−1 i dzieli ten bok w stosunku 2 ∶ 3. 
 
Pola wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Z uwagi na ograniczenia platformy:

Odpowiedź zapisz bez spacji

Ułamek zapisz w postaci dzielenia: /

Potęgę zapisz jako: ^

Jeśli będzie potrzebne skopiuj: √

Korzystaj jedynie z nawiasów: ()

Zad. 4 [na podstawie zad 10, 12 maja 2023 matura główna CKE, 4 pkt. -> 8%]

Określamy kwadraty K1 , K2 , K3 , … następująco: 

• K1 jest kwadratem o boku długości a 
• K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K1 i dzieli ten bok w stosunku 3 ∶ 4 
• K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K2 i dzieli ten bok w stosunku 3 ∶ 4 
 
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2:

• K𝑛 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn−1 i dzieli ten bok w stosunku 3 ∶ 4. 
 
Pola wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Z uwagi na ograniczenia platformy:

Odpowiedź zapisz bez spacji

Ułamek zapisz w postaci dzielenia: /

Potęgę zapisz jako: ^

Jeśli będzie potrzebne skopiuj: √

Korzystaj jedynie z nawiasów: ()

Zad. 5 [na podstawie zad 10, 12 maja 2023 matura główna CKE, 4 pkt. -> 8%]

Określamy trójkąty równoboczne T1 , T2, T3, … następująco: 

• T1 jest trójkątem równobocznym o boku długości a 
• T2 jest trójkątem równobocznym, którego każdy wierzchołek leży na innym boku trójkąta równobocznego T1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2
• T3 jest trójkątem równobocznym, którego każdy wierzchołek leży na innym boku trójkąta równobocznego T2 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2
 
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2:

• Tn jest trójkątem równobocznym, którego każdy wierzchołek leży na innym boku trójkąta równobocznego Tn-1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2 
 
Wysokości wszystkich trójkątów równobocznych określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Z uwagi na ograniczenia platformy:

Odpowiedź zapisz bez spacji

Ułamek zapisz w postaci dzielenia: /

Potęgę zapisz jako: ^

Jeśli będzie potrzebne skopiuj: √

Korzystaj jedynie z nawiasów: ()

Zad. 6 [na podstawie zad 10, 12 maja 2023 matura główna CKE, 4 pkt. -> 8%]

Określamy trójkąty równoboczne T1, T2, T3, … oraz okręgi O1, O2, O3, … następująco: 

• T1 jest trójkątem równobocznym o boku długości a opisanym na okręgu O1 
• T2 jest trójkątem równobocznym, wpisanym w okrąg O1 i opisanym na okręgu O2
• T3 jest trójkątem równobocznym, wpisanym w okrąg O2 i opisanym na okręgu O3
 
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2:

• Tn jest trójkątem równobocznym, wpisanym w okrąg On-1 i opisanym na okręgu On 
 
Promienie wszystkich okręgów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Z uwagi na ograniczenia platformy:

Odpowiedź zapisz bez spacji

Ułamek zapisz w postaci dzielenia: /

Potęgę zapisz jako: ^

Jeśli będzie potrzebne skopiuj: √

Korzystaj jedynie z nawiasów: ()