Arkusz 06 – Luty (MAT PR) v. 1

Zadanie 1. (0-2)

Chcesz zostać viralowym hitem, w tym celu zakładasz konto na TikToku. Ilość
N wyświetleń na twoim koncie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

gdzie:
N0 – ilość wyświetleń w chwili początkowej (t=0)
k – stała dodatnia liczba przyrostu nowych osób oglądających twój kontent
t – czas wyrażony w dniach, liczony od chwili t = 0.

W chwili rozpoczęcia grindu liczebność wyświetleń wynosiła 200, a
po trzech dniach 5400. Oblicz k. Twoja ulubiona marka zaczyna
współpracę z twórcami, którzy mają 100000 wyświetleń. Po ilu dni
ach możesz liczyć na współpracę? Zapisz obliczenia.

Zadanie 2. (0-3)

Znajdź obwód podanego trapezu równoramiennego wiedząc, że jego pole wynosi
P =(6+3√10)( 22−√160).

Zadanie 3. (0-3)
Ciąg (an)n∈N+ jest ciągiem arytmetycznym. Pierwszy, drugi i dwunasty wyraz
tego ciągu są kolejno równe pierwszym trzem wyrazom ciągu geometrycznego
(bn)n∈N+ .

Czy szereg geometryczny utworzony z ciągu bn jest zbieżny? Jeśli
tak, oblicz sumę tego szeregu. Wiedząc, że różnica sumy czterech początkowych
wyrazów ciągu geometrycznego i sumy czterech początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego jest równa 1053 oblicz a1. Zapisz obliczenia

Zadanie 4. (0-4)
Rozwiąż nierówność

|2x +7|+|−3x−3| ≤ 5

Zapisz obliczenia

Zadanie 5. (0-4)
Oblicz kąt nachylenia wykresu funkcji liniowej f do osi Ox wiedząc, że:

Zadanie 6.  (0-5)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R, dla których równanie

ma dwa różne, dodatnie rozwiązania rzeczywiste spełniające równanie  oraz minimalna wartość wyrażenia jest większa od-1.

Zadanie 7. (0-4)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b
takich, że 2a > a+b > 2 prawdziwa jest nierówność

Zadanie 8. (0-5)

Rozwiąż równanie 

w przedziale [π, 3π/2 ]. Zapisz obliczenia.

Zadanie 9.  (0-4)

Tabela przedstawia wyniki badania statystycznego Biblioteki Narodowej na
temat stanu czytelnictwa książek w Polsce w 2025 roku.

Z osób biorących udział w badaniu wylosowano jedną osobę i okazało się, że
przeczytała ona książkę w ciągu ostatniego roku. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że wylosowana osoba ma więcej niż 70 lat? Odpowiedź podaj w procentach zaokrąglając do części dziesiątych (jedno miejsce po przecinku.

Zadanie 10. (0-4)

Ile jest parzystych liczb czterocyfrowych, w których liczba utworzona z cyfr
tysięcy, setek i dziesiątek jest podzielna przez cyfrę jedności? Zapisz obliczenia.

Zadanie 11. (0-6)

Dla pewnych kątów α i β pole obszaru między zielonym i niebieskim okręgiem
jest największe. Znajdź sinusy tych kątów. Załóż, że odległość wspólnego środka
okręgów od początku układu współrzędnych wynosi 4, a β −α = 60◦