Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.
a) Wykaż, że pole 𝑃 każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości 𝑏 ramienia, wyraża się wzorem 𝑃(𝑏) = (18−2𝑏) ⋅ √18𝑏−81 2 .
b) Wyznacz dziedzinę funkcji 𝑃.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole
a) Przyjmujemy następujące oznaczenia:
𝑎 – długość podstawy trójkąta,
𝑏 – długość ramienia trójkąta,
ℎ – wysokość trójkąta.
Obwód trójkąta jest równy 18, więc 𝑎 + 2𝑏 = 18 i stąd 𝑎 = 18 − 2𝑏. Z geometrycznych warunków zadania wynika, że 𝑎 ∈ (0, +∞) oraz 𝑏 ∈ (0, +∞), więc 18 − 2𝑏 > 0, zatem 𝑏 ∈ (0, 9).
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa i związku 𝑎 = 18 − 2𝑏, otrzymujemy
ℎ ^2 = 𝑏 2 − ( 1 2 𝑎) 2 ℎ 2 = 𝑏 2 − ( 1 2 (18 − 2𝑏)) 2 ℎ 2 = 𝑏 2 − (9 − 𝑏) 2 ℎ 2 = 18𝑏 − 81 ℎ = √18𝑏 − 81
Musi zachodzić 18𝑏 − 81 > 0, więc 𝑏 > 81 18 .
Zatem 𝑏 ∈ ( 9 2 , 9). Pole trójkąta o podstawie 𝑎 i wysokości ℎ jest równe 𝑃 = 𝑎ℎ 2 .
Zapisujemy pole trójkąta jako funkcję 𝑃 zmiennej 𝑏: 𝑃(𝑏) = (18 − 2𝑏) ⋅ √18𝑏 − 81 2 dla 𝑏 ∈ ( 9/2, 9)
Z geometrycznych warunków zadania wynika, że 𝑎 ∈ (0, +∞) oraz 𝑏 ∈ (0, +∞), więc 18 − 2𝑏 > 0, zatem 𝑏 ∈ (0, 9). Z warunku trójkąta 2𝑏 > 𝑎 , czyli 2𝑏 > 18 − 2𝑏, więc 𝑏 > 9 2 . Zatem 𝑏 ∈ ( 9 2 , 9). Dziedziną tej funkcji jest przedział ( 9 2 , 9).
